Université de Versailles-St Quentin, Laboratoire de Mathématiques, 45 avenue des États-Unis 78035 Versailles cedex, France
e-mail: divizio[at]math.cnrs.fr          Office: bâtiment Fermat, office 3305

Lieu : Campus de l'UFR de Science de Versailles, bâtiment Fermat, amphi F

Organisateurs : Alin Bostan et Lucia Di Vizio

Programme

10h30 : accueil

11h00-12h00 : Mireille Bousquet-Mélou (CNRS - LaBRI) – Équations différentielles pour le modèle de Potts sur les cartes planaires.

Résumé : Let q be an integer. We address the enumeration of q-colored planar maps (planar graphs embedded in the sphere), counted  by the total number of edges and the number of monochromatic edges (those that have the same colour at both ends). In physics terms, we are averaging the partition function of the Potts model over all maps of a given size. We prove that the associated generating function is algebraic when q is of the form 2 + 2 cos(jπ/m), for integers j and m (but distinct from 0 and 4). This includes the two integer values q = 2 and q = 3, for which we give explicit algebraic equations.

For a generic value of q, we prove that the generating function satisfies an explicit system of differential equations. Both results hold as well for planar triangulations, with a strikingly similar system of differential equations.

The starting point of our approach is a recursive construction of q-coloured maps, in the spirit of what W. Tutte did in the seventies and eighties for properly coloured triangulations. This model has also been addressed by other authors and other methods (Bonnet & Eynard in 1999, and more recently Guionnet, Jones, Shlyakhtenko & Zinn-Justin, and Borot, Bouttier & Guitter), but our results are of a different nature and more explicit.

This is a joint work with Olivier Bernardi (Brandeis University).

12h15-14h15  : déjeuner 

14h30-15h30 : Charlotte Hardouin (IMT) –  Hypertranscendance des fonctions spéciales complexes. 

Résumé : La hiérarchie des nombres réels en nombres rationnels, algébriques ou en périodes possède un pendant fonctionnel. Ainsi, on classe les fonctions spéciales en fonctions rationnelles, algébriques, holonomes, différentiellement algébriques et hypertranscendantes. L'intérêt des mathématiciens pour la dernière classe remonte à Hilbert qui observa que de nombreuses fonctions provenant de la théorie des nombres n'étaient pas différentiellement algébriques. Un résultat classique d' Hölder montre qu'il en est ainsi de la fonction Gamma. La preuve d' Hölder repose de façon cruciale sur l'équation fonctionnelle définissant Gamma. Dans cet exposé, nous montrerons comment, à de rares exceptions bien comprises, les fonctions spéciales satisfaisant à une équation discrète linéaire sont soit rationnelles soit hypertranscendantes.

Ce résultat est un travail en collaboration avec Boris Adamczewski (CNRS-ICJ) et Thomas Dreyfus (CNRS-IRMA). 

15h45-16h45 Boris Adamczewski (CNRS & Lyon I) –  Bases indépendantes et équations mahlériennes.

Résumé :  Le point de départ de cet exposé est l'adage suivant : les développements dans des bases multiplicativement indépendantes (comme 2 et 10) n'ont aucune structure commune. A la fin des années 60, Furstenberg a utilisé la théorie des systèmes dynamiques pour proposer une série de conjectures, devenues célèbres, qui formalisent cette idée. Je présenterai une conjecture qui, bien que dans le même esprit, s'énonce en des termes différents et fait intervenir la théorie des automates finis. J'expliquerai pourquoi cette conjecture semble difficile et comment l'attaquer à l'aide d'une méthode introduite par Mahler à la fin des années 20. Cette dernière concerne les relations algébriques entre valeurs aux points algébriques de fonctions analytiques de plusieurs variables vérifiant un certain type d'équations fonctionnelles. Je donnerai également un premier résultat significatif en direction de cette conjecture. Il s'agit d'un travail commun avec Colin Faverjon.