Programme du Séminaire différentiel 2012-2017

Salle : Amphi F, Bâtiment Fermat, Campus de l’UFR de Sciences, 45 avenue des États-Unis, Versailles

Organisateur : Lucia Di Vizio

Programme :

10h30 : café, LMV, maison 3

11h15-12h15 : Bruno Salvy (LIP - ENS Lyon), Fractions continues explicites pour des équations de type Riccati

Résumé : La plupart des C-fractions explicites classiques sont des cas particuliers de fractions continues dues à Euler et Gauss pour le quotient de séries hypergéométriques contiguës. Ces séries sont solutions d’équation de Riccati, à partir desquelles ces fractions continues peuvent être obtenues directement par une méthode due à Lagrange. Dans ce travail, nous abordons la méthode de Lagrange d’un point de vue symbolique, pour déterminer toutes les équations pour lesquelles elle donne des fractions continues explicites. Les résultats classiques sont ainsi obtenus de manière unifiée, ainsi que leurs q-analogues (des fractions continues dues à Heine). La méthode s’applique aussi aux équations de Riccati discrètes et fournit alors en cas particulier une fraction continue due à Brouncker sur la fonction Gamma. Il s’agit d’un travail joint avec Sébastien Maulat.

14h15-15h15 : Joelle Saadé (XLIM, Limoges), Une nouvelle approche pour la réduction formelle de systèmes différentiels linéaires singuliers en utilisant des eigenrings

Résumé : Nous combinons deux sources de travaux. D’une part, les méthodes de réduction formelle de Balser, Jurkat, Lutz, Hilali, Wazner, Barkatou, Pflugel, Loday-Richaud, etc ; d’autre part, les techniques de decomposition/factorisation par eigenring de Singer, Barkatou, etc. Le résultat est une nouvelle approche de décomposition formelle de système différentiel linéaire. Nous obtenons une décomposition certifiée. Nous minimisons et retardons au maximum les extensions de corps qui apparaissent naturellement dans la solution formelle.

15h30-16h30 : Thomas Cluzeau (XLIM, Limoges), Sur le problème d’équivalence des systèmes fonctionnels linéaires

Résumé : Dans l’approche de la théorie des systèmes linéaires par l’analyse algébrique, nous étudions le problème d’équivalence des systèmes fonctionnels linéaires, c’est-à-dire le problème de caractériser quand toutes les solutions de deux systèmes fonctionnels linéaires sont en bijection. La première partie de l’exposé donnera une version constructive d’un théorème de Fitting qui affirme que deux modules de présentation finie sont isomorphes si et seulement si leurs matrices de présentation peuvent être élargies par des blocs de 0 et de matrices identité de sorte que les matrices obtenues sont équivalentes. La deuxième partie de l’exposé présentera une nouvelle caractérisation de l’isomorphisme entre deux modules de présentation finie en terme d’extensions de leurs matrices de présentation. Nous en déduirons différents isomorphismes qui sont des conséquences du problème de complétion unimodulaire et qui permettent de compléter et raffiner des résultats existants sur le problème de la réduction de Serre. Tous les résultats présentés sont algorithmiques pour des anneaux sur lesquels les techniques de bases de Gröbner existent et les calculs peuvent être obtenus par les packages Maple OreModules et OreMorphisms. Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Alban Quadrat (INRIA Lille - Nord Europe).

Salle : Amphi F, Bâtiment Fermat, Capus de l’UFR de Sciences, 45 avenue des États-Unis, Versailles

Organisateurs : Lucia Di Vizio et Julien Roques

Programme :

11h00-12h00 : Edoardo Corel (Université Pierre et Marie Curie) Membranes de Gérard-Levelt : calcul tropical d’invariants de systèmes différentiels linéaires.

Résumé : J’exposerai une application inattendue de la géométrie tropicale au calcul du rang de Katz d’une connexion méromorphe. Celle-ci repose sur une interprétation géométrique de résultats classiques de Gérard et Levelt comme une procédure de projection tropicale sur un sous-ensemble convexe (la membrane de Gérard-Levelt) de l’immeuble affine de Bruhat-Tits associé.

14h15-15h15 : Thomas Dreyfus (Université Lyon I). Nature des séries génératrices des marches dans le quart de plan.

Résumé : L’étude de la nature des séries génératrices des marches dans le quart de plan est un sujet de recherche fécond. Plus précisément, on fixe un certains nombres de directions, et on considère la série génératrice qui encode le nombre de chemins allant de l’origine à un point donné en suivant ces directions. La question naturelle est alors de savoir si cette série génératrice est algébrique, solution d’une équation différentielle linéaire, ou même solution d’une équation différentielle polynomiale. Dans les deux premiers cas, le problème avait déjà été résolu mais la question restait entière pour le troisième. Dans cet exposé, nous verrons comment la théorie de Galois différentielle permet de déterminer, suivant les directions autorisées, si la série génératrice est solution d’une équation différentielle polynomiale ou non. Il s’agit d’un travail en commun avec C. Hardouin, J. Roques, M. Singer.

15h30-16h30 : Jacques-Arthur Weil (Université de Limoges) Formes réduites de systèmes différentiels linéaires, aspects effectifs.

Une journée est organisée le 11 octobre prochain au Laboratoire de Mathématiques de Versailles. Nous aurons le plaisir d’accueillir G. Casale et F. Loray.

Lieu : Bâtiment Fermat, salle 2205 le matin, amphi F l’après-midi. 

Organisateurs : Lucia Di Vizio et Luc Pirio

La journée aura lieu au bâtiment Fermat, amphi F.

Programme de la journée

11h-12h : Frank LORAY (IRMAR - CNRS & Univ. Rennes 1) Structures projectives et voisinages de courbes rationnelles

Résumé : On s’intéresse à un avatar local de la dualité entre points et droites du plan projectif que l’on trouve dans les travaux de Cartan, Arnold et la thèse de Le Brun. Les droites sont remplacées par un système de géodésiques locales pour une connection projective (=structure projective) sur un germe de surface et l’espace dual (espace des géodésiques) est une surface dont les géodésiques sont courbes d’auto-intersection +1. Dans un travail en cours avec Maycol Falla Luza, nous essayons de mieux comprendre le dictionnaire entre ces deux objets.

14h15-15h15 : Guy CASALE (IRMAR - Univ. Rennes 1) Irréductibilité des équations de Painléve discrètes

Résumé : J’expliquerai pourquoi une équation différentielle avec un "gros" pseudogroupe de Malgrange est irréductible ainsi que son analogue pour les équations aux différences. Un théorème de spécialisation de Damien Davy permet de calculer ce pseudogroupe pour les équations de Painlevé (ayant des paramètres tres généraux). Il obtient ainsi une nouvelle preuve de l’irréductibilité des équations de Painlevé. Les équations de Painlevé discrètes confluent vers des équations de Painlevé lorsque le pas h tend vers 0. L’étude de la limite du pseudo-groupe de Malgrange lorsque h tend vers 0, nous permet de montrer que, de manière très générale, le pseudo-groupe de Malgrange d’une équation de Painlevé discrète est "gros".

15h30-16h30 : Gaël Cousin Orbites finies des groupes de tresses sur les Aff(C)-variétés de caractères de la sphère épointée.

Résumé : Je présenterai un travail en commun avec Delphine Moussard. Il s’agit d’une étude exhaustive des orbites mentionnées dans le titre. On se ramène à étudier une famille de représentations linéaire du groupe de tresses pures sur le disque. Le cas de la sphère épointée quatre fois a été étudié par H.A. Schwarz. Par confluence on en tire des informations fortes pour les autres cas. La théorie des groupes de réflexions complexes permet de conclure. On donnera des tables d’orbites, avec caractérisation géométriques de leurs éléments et taille de l’orbite. On expliquera les liens avec certains problèmes d’algébricité dans la théorie des équations différentielles (fonctions hypergeométriques, déformations isomonodromiques). Mentionnons que cette action a aussi été étudiée par Deligne et Mostow dans une autre but : pour donner des réseaux non-arithmétiques de PU(1,d) (hors programme).

Le séminaire différentiel a vu le jour en 2003 à l’IMJ sous l’impulsion de Daniel Bertrand, qui a participé à son organisation jusqu’en 2014. Depuis 2012, il a lieu à Versailles. Actuellement, il est organisé par L. Di Vizio plus un ou deux collègues, selon le thème choisi, aura lieu à l’Université de Versailles-St Quentin à partir de septembre 2012, à raison de quelques mardis par semestre et 2 ou 3 exposés par réunion.

Une journée est organisée le 17 novembre prochain au Laboratoire de Mathématiques de Versailles. Elle offrira un panorama des diverses thématiques de recherche présentes au séminaire différentiel ces dernières années. Les autres orateurs sont : D. Bertrand, A. Chambert-Loir, Z. Chatzidakis, C. Hardouin, P. Philippon, J. Roques.

Le 17 novembre prochain sera la première séance du séminaire pour laquelle Daniel n’aura pas été organisateur, mais nous aurons le plaisir de l’écouter donner un exposé.

Lieu : Bâtiment Fermat, amphi F.

Organisateurs : Antoine Chambert-Loir, Lucia Di Vizio, Charlotte Hardouin

Exposés :

10h00-10h30 : Daniel Bertrand (U. Paris 6), Un groupe de Galois pour les équations schwarziennes ?

pause café

11h00-11h30 : Charlotte Hardouin (U. Toulouse 3), Hypertranscendance des séries génératrices de suites p-automatiques

11h40-12h10 : Zoé Chatzidakis (CNRS - ENS), Groupes définissables dans les corps aux différences.

déjeuner

14h-15h : Julien Roques (U. Grenoble 1), A propos des singularités intermédiaires des équations aux q-différences

15h15-16h15 : Antoine Chambert-Loir (U. Paris 7), Un théorème d’Ax-Lindemann non archimédien

16h30-17h30 : Patrice Philippon (CNRS- U. Paris 6), Théorie de Galois et valeurs de fonctions de Mahler

Organisateurs : D. Bertrand, L. Di Vizio

Programme de la journée :

10h00 : accueil des participants, café.

10h30-12h : B. Anglès (Université de Caen), Exponentielle de Carlitz et Arithmétique

Résumé : Nous donnerons lors de cet exposé un aperçu des résulats récents obtenus sur les valeurs spéciales des fonctions L de Goss-Pellarin. Ces séries sont des analogues en caractéristique positive des fonctions L d’Artin des corps de nombres . Nous aborderons en particulier les aspects suivants qui sont intimement liés :

• analytiques : les travaux récents de Federico Pellarin et ses co-auteurs sur certaines fonctions L à plusieurs variables,
• arithmétiques : les travaux récents de Lenny Taelmann et ses co-auteurs sur les modules de classes et modules d’unités associés aux modules de Drinfeld.

14h-15h : J. Roques (Université Grenoble I), Applications miroir hypergéométriques

Résumé : Nous ferons un tour d’horizon des propriétés d’intégralité des coefficients de Taylor en 0 des applications miroir hypergéométriques (généralisées).

15h-15h30 : Pause café

15h30-16h30 : M. Papanikolas (Texas A&M University et Université de Saint-Etienne), Power sums of polynomials and their hyperderivatives over finite fields Exposé dans le cadre du Colloquium.

Abstract : Polynomial power sums, or rather sums of monic polynomials of fixed degree over a finite field raised to a positive integer power, possess a wide variety of unexpected properties. For example, Carlitz observed that they frequently vanish and provided a criterion for vanishing in terms of the p-adic digits of the power taken. Subsequent work of Carlitz, Gekeler, Lee, and Thakur investigated degrees and precise formulas for polynomial power sums in the nonvanishing cases. Taken together these two types of results provide important information about Carlitz zeta values at negative integers.

We will discuss extensions of these results to power sums of polynomials and their hyperderivatives. Using various identities involving symmetric polynomials, we find exact formulas (as well as vanishing criteria) for these sums. These lead to new identities for Carlitz binomial coefficients and special values of Goss L-series at positive and negative integers.

La journée aura lieu au bâtiment Fermat, SALLE 2201.

Organisateurs : D. Bertrand, L. Di Vizio, B. Schraen

Lieu : Bât. Fermat, amphi F

Programme de la journée

10h30 : accueil des participants, café.

11h00-12h30 : Charlotte Hardouin (IMT) Titre : Approche galoisienne de l’hypertranscendance discrète

Résumé : Nous avons développé une théorie de Galois des équations différentielles linéaires, qui permet de déterminer les relations algébriques satisfaites par les solutions d’une équation différentielle linéaire et leurs transformées sous l’action d’un opérateur aux différences $\sigma$. Par exemple, on pourra prendre $\sigma$ l’opérateur de Frobenius dans le cadre de l’étude des équations différentielles $p$-adiques ou bien encore $\sigma$ pourra être un opérateur discret agissant sur les paramètres de l’équation différentielles à l’instar des transformations de Bäcklund pour les équations de Painlevé. Dans la première partie de cet exposé, nous introduirons la théorie de Galois à paramètres discrets dont les groupes de Galois ont une structure de schémas en groupes aux différences définis sur un corps algébriquement clos. Dans une seconde partie, nous montrerons comment cette théorie peut s’appliquer par exemple aux problèmes d’intégrabilité discrète, de contiguité, ou encore d’étude des structures de Frobenius des équations différentielles p-adiques.

14h30-15h30 : Benjamin Schraen (LMV) Titre : Représentations p-adiques du groupe de Galois d’un corps p-adique

15h30-16h00 : Pause café

16h00-17h00 : Eugen Hellmann (Bonn. Paris VI) Titre : Construction of Galois representations via p-adic differential equations