Le groupe de travail «Transcendance et combinatoire» a débuté en janvier 2018.
Il bénéficie du soutien de la bourse ERC COMBINEPIC.
Organisateurs : Alin Bostan, Lucia Di Vizio et Kilian Raschel
Lieu et horaires : Le groupe de travail se déroulera en ligne jusqu'à nouvel ordre. Il aura lieu 1 ou 2 vendredis par mois, entre 15h et 17h sauf mention contraire.
- 03/12/21 (salle 05, IHP)
- Orateur : Jean-Marie Maillard (Sorbonne Université)
- Titre : Séries différentiellement algébriques à coefficients entiers : le modèle d'Ising comme déconstruction des équations de Painlevé VI
- Résumé : Si les séries à coefficients entiers D-finite sont relativement comprises (diagonales de fonctions rationnelles, conjecture de Christol), les séries à coefficients entiers différentiellement algébriques restent essentiellement terra incognita. Nous aborderons deux types d'exemples importants pour la physique, de séries à coefficients entiers différentiellement algébrique: des séries solutions d'équations différentielles non-linéaires Schwarziennes, très liées aux correspondences modulaires, et des séries solutions d'équations d'équations différentielles non-linéaires à points critiques fixes de type Painlevé correspondant aux fonctions de corrélations du modèle d'Ising bidimensionnel.
- 21/01/22 (online)
- Orateur : Matthieu Dussaule (Université d'Angers)
- Titre : Une introduction à la théorie de la frontière de Martin
- Résumé : On introduira le bord de Martin et on parlera de ses propriétés fondamentales : représentation des fonctions harmoniques et lien avec les marches aléatoires. On étudiera aussi une construction de ce bord qui en fait un bord par horofonctions pour la bonne distance. On essayera enfin de comprendre dans le détail certains exemples. Si le temps le permet, on parlera aussi de stabilité du bord de Martin.
- 11/02/22 (salle 05, IHP)
- Orateur : Dimitri Zvonkine (CNRS - Université de Versailles)
- Titre : Des nombres d'intersection sur l'espace de modules des courbes aux logarithmes itérés.
- Résumé : La formule ELSV (Ekedahl, Lando, Shapiro, Vainshtein) est une égalité entre, d'une part, un nombre de Hurwitz énumérant les factorisations d'une permutation donnée en transpositions et, d'autre part, l'intégrale d'une certaine classe de cohomologie sur l'espace de modules des courbes stables. La théorie de l'intersection sur les espaces des modules est à priori bien plus compliquée que la combinatoire des nombres de Hurwitz. La formule ELSV nous invite à appliquer la deuxième à la première. Je montrerai une méthode que nous avons élaborée avec Shadrin pour le faire et le lien entre les coefficients obtenus avec les logarithmes itérés, découvert par Aschenbrenner.
- 11/03/22 (hybride : salle 05, IHP + online)
- Orateur : Raphaël Lachièze-Rey (Université Paris Descartes)
- Titre : Diophantine Gaussian excursions and random walks
- Résumé : We consider a trigonometric sum on R^d with random Gaussian coefficients where the frequencies are mutually irrational, and we estimate the variance of the volume of points where this series takes positive values (i.e. the excursion volume). We first establish that for general Gaussian fields, this quantity is determined by the random walk which increment measure is the spectral measure of the field, hence in our case the measure which support is made of the set of irrational frequencies. We therefore study the random walk where the increments are random and irrational, and study its probability to come back close to zero, the result is heavily dependent on the quality of the simultaneous approximation of the atoms by rational numbers. This work is motivated by the quest for random sets which variance undergoes "cancellations", i.e. is negligible with respect to the volume where it is observed, and in our case we can conclude that this will happen for frequencies badly approximable by rationals.
- 08/04/22 (hybride : salle 01, IHP + online)
- Orateur : Joris van der Hoeven (CNRS, Ecole polytechnique)
- Titre : Computing with D-algebraic power series
- Résumé : I shall present several algorithms for computing with D-algebraic power series. Such power series are specified by one or more algebraic differential equations and a sufficient number of initial conditions. The emphasis is on the ability to decide whether expressions involving D-algebraic power series are zero. We will both consider univariate and multivariate series and, besides the usual ring operations and differentiation, we will also consider composition, implicitly determined power series and monomial transformations.
- 22/04/22 (salle 05, IHP)
- Orateur : Gleb Pogudin (Ecole polytechnique) [SLIDES]
- Titre : A zero test for σ-algebraic power series
- Résumé : One fundamental problem in symbolic computation is zero testing of expressions that involve special functions. The previous talk, by Joris van der Hoeven, describes such zero tests for the case when the special functions satisfy algebraic differential equations. There are also algorithms for the case of linear difference equations. In this talk, I will present a zero-testing algorithm for the case of power series solutions to certain non-linear difference equations. This is joint work with Joris van der Hoeven.
- 13/05/22, 14:30 (online)
- Oratrice : Mireille Bousquet-Mélou (CNRS, Université de Bordeaux) [SLIDES]
- Titre : Introduction à une série de quatre exposés sur les marches dans trois quarts de plan
- Résumé : En introduction à cette série d'exposés sur les marches dans trois quarts de plan, je présenterai une vue d'ensemble des résultats existants et des voies déjà empruntées. Bien sûr, quelques parallèles seront faits avec l'étude des marches dans un quart de plan.
- 20/05/22, 14:30 (online)
- Orateur : Michael Wallner (TU Wien)
- Titre : Walks avoiding a quadrant and the reflection principle
- Résumé : We continue the enumeration of plane lattice walks with small steps avoiding the negative quadrant, initiated by Bousquet-Mélou in 2016. We solve in detail a new case, namely the king model where all eight nearest neighbour steps are allowed. The associated generating function satisfies an algebraicity phenomenon: it is the sum of a simple, explicit D-finite series (related to the number of walks confined to the first quadrant), and an algebraic one. The principle of the approach is the same as in [Bousquet-Mélou, 2016], but challenging theoretical and computational difficulties arise as we now handle algebraic series of degree up to 216.
We expect a similar algebraicity phenomenon to hold for the seven Weyl step sets, which are those for which walks confined to the first quadrant can be counted using the reflection principle. This is now proved for three of them. For the remaining four, we predict the D-finite part of the solution, and in three of the four cases, give evidence for the algebraicity of the remaining part.
This is joint work with Mireille Bousquet-Mélou.
- 03/06/22, 14:30 (salle 201, IHP)
- Oratrice : Mireille Bousquet-Mélou (CNRS, Université de Bordeaux) [SLIDES]
- Titre : Invariants pour les marches dans trois quarts de plan
- Résumé : On considère ici les huit modèles diagonalement symétriques sans pas NO ni SE, plus le modèle à quatre pas diagonaux, qui finalement se comporte de manière semblable. Comme l'ont déjà fait K. Raschel et A. Trotignon, on écrit pour ces modèles une équation fonctionnelle qui rappelle, en un peu plus compliqué, celle du quart de plan. En utilisant la notion d'invariants, déjà bien utile pour le quart de plan, on établit pour les six de ces neuf modèles qui admettent au moins une paire d'invariants des résultats "positifs" : trois ont une série algébrique, deux une série D-finie transcendante, et un a une série D-algébrique. Les travaux de Th. Dreyfus et A. Trotignon prouvent que les trois modèles restants sont D-transcendants. Pour ces neuf modèles, la série génératrice est de même nature pour le quart de plan et pour trois quarts de plan. À noter que seuls les résultats d'algébricité (obtenus pour les modèles à la Kreweras) sont nouveaux.
- 17/06/22, 14:30 (salle 05, IHP)
- Orateur : Andrew Elvey Price (CNRS, Université de Tours)
- Titre : Analytic solutions for walks with small steps in the three quarter plane
- Résumé : We characterise the generating function counting walks with small steps in the 3/4-plane using an analytic functional equation involving elliptic functions analogous to one used extensively in the quarter plane, essentially showing that from this viewpoint 3/4-plane walks are no more complicated than quarter plane walks. The method involves slicing the 3/4-plane into 3 quarter planes, as done previously by Bousquet-Mélou and Wallner, then reassembling the resulting generating functions in the analytic world. We use this analytic functional equation to prove a conjecture of Dreyfus and Trotignon that the complexity (algebraic, D-finite, D-algebraic, etc.) of the generating function C(x,y;t) counting walks in the 3/4-plane is the same as that of the generating function Q(x,y;t) counting walks in the quarter plane, at least with respect to the variables x and y. Moreover, we believe this opens the door to a proof that this complexity matches the complexity of the series as functions of t.
- 01/07/22, 11:00 (tour 26, couloir 25-26, salle 105, LIP6, Jussieu)
Cette séance exceptionnelle est organisée conjointement avec le séminaire Polsys-Mathexp.
- Orateur : Armin Straub (University of South Alabama)
- Titre : Sums of powers of binomials, their Apéry limits, and Franel's suspicions
- Résumé : Apéry's proof of the irrationality of ζ(3) relies on representing that value as the limit of the quotient of two rational solutions to a three-term recurrence. We review such Apéry limits and explore a particularly simple instance. We then explicitly determine the Apéry limits attached to sums of powers of binomial coefficients. As an application, we prove a weak version of Franel's conjecture on the order of the recurrences for these sequences. This is based on joint work with Wadim Zudilin.