Université de Versailles-St Quentin, Laboratoire de Mathématiques, 45 avenue des États-Unis 78035 Versailles cedex, France
e-mail: divizio[at]math.cnrs.fr          Office: bâtiment Fermat, office 3305

Lieu : Inria Saclay Île-de-France, Bâtiment Alan Turing, amphi. Sophie Germain

Organisateurs : Alin Bostan et Lucia Di Vizio

Programme : trois exposés, donnés par Zoé Chatzidakis (CNRS & ENS), Gilles Christol (IMJ) et Joris van der Hoeven (CNRS & X)

10h30 : accueil

11h00-12h00 – Zoé Chatzidakis  : Clôtures aux différences

Résumé :  Il est bien connu qu'un corps différentiel de caractéristique 0 a une clôture différentielle, et que celle-ci est unique à isomorphisme près. La question se pose alors naturellement : en est-il de même pour la clôture aux différences d'un corps aux différences ?
Un corps aux différences K est clos si tout système fini d'équations aux différences qui a une solution dans une  extension de K a déjà une solution dans K. On dit que L est une clôture aux différences du corps aux différences K si L est clos, et se K-plonge dans toute extension aux différences close M de K.   Je montrerai par des exemples que ces clôtures n'existent pas toujours, même en imposant les conditions naturelles sur le corps aux différences K.
On peut renforcer la notion de clôture, en exigeant par exemple que tout système dénombrable d'équations aux différences qui a une solution dans une extension a une solution. Si K est un corps aux différences de caractéristique 0 algébriquement clos et dont le corps fixe est pseudo-fini et satisfait la condition analogue pour les équations polynomiales, on peut alors montrer qu'une clôture forte de K  existe et est unique à isomorphisme près.   

 

12h15-14h15 : déjeuner à la Brasserie EDF R&D

 

14h30-15h30 – Gilles Christol : Les exposants ou le côté obscur des équations différentielles p-adiques (téléchargez ici le pdf de la présentation)

Résumé : Lorsque des nombres de Liouville interviennent dans les exposants d’une équation différentielle p-adique le comportement de ses solutions peut être très inattendu, avec des cercles successifs de pathologies de plus en plus difficiles à contrôler. Heureusement, les équations différentielles « qui viennent de la géométrie (en caractéristique p) » ont des exposants rationnels. Toutefois cette situation agréable n’est pas toujours préservée dans les constructions et l’existence de cas Liouville rend les démonstrations nettement plus délicates. C’est probablement l’une des raisons rendant la cohomologie p-adique plus difficile que les cohomologies ℓ-adiques.

15h45-16h45 – Joris van der Hoeven : Autour du calcul numérique de groupes de Galois différentiels (téléchargez ici le pdf de la présentation)

Résumé : Considérons une équation différentielle linéaire L(f) = 0 d'ordre r, dont les coefficients sont des polynômes à coefficients rationnels. Si l'équation n'admet que des singularités régulières, un théorème classique de Schlesinger dit que son groupe de Galois différentiel est engendré en tant que sous groupe algébrique de GL(r) par les matrices de monodromie autour des singularités de L. Ce « théorème de densité » se généralise au cas non-Fuchsien en considérant également des matrices de Stokes. Le but de cet exposé est de montrer que ces théorèmes peuvent être rendus effectifs dans une large mesure. Comme application, cela permet de réduire certains problèmes a priori algébriques concernant l'opérateur L (comme la factorisation de L) à des problèmes d'algèbre linéaire avec comme coefficients des nombres complexes « holonômes ».